Análisis dinámico - Excitación en la base en zonas que no tienen condición de contorno.

Cuando queremos realizar un análisis dinámico podemos trabajar en el dominio de la frecuencia en vez de calcular la respuesta temporal. Este enfoque tiene la ventaja de ser computacionalmente menos costoso, pero la limitación es que solo es válido para comportamientos puramente lineales.

Para poder introducir una excitación en la base, el grado de libertad en el que se quiere aplicar ha de estar restringido. Es decir, hay que añadir esa condición de contorno y esto modifica el comportamiento de la estructura. 

Hay que tener cuidado cuando lo usamos, para asegurarnos de que lo estamos usando bien y no estamos distorsionando el comportamiento de la estructura.

El movimiento en la base sirve para modelar escenarios como terremotos y estructuras a las que la vibración les llega por los soportes.

Figura 1. Edificio a cortante sometido a excitación sísmica en la base.

Pero... y si queremos usar este enfoque pero la excitación no le llega a la estructura por ninguna condición de contorno ¿Podemos realizar este tipo de análisis?

La respuesta corta es No, pero aplicando un sencillo truco podemos hacer el análisis y obtener buenos resultados.
 

Ejemplo viga en voladizo con excitación en el extremo libre.
 

Imagina el ejemplo de la Figura 2. 

Figura 2. Viga en voladizo con excitación en el extremo libre.

Si queremos realizar un análisis armónico con movimiento en la base, el extremo libre tendría que restringirse en la dirección vertical para poder insertar la excitación. Esto cambiaría las condiciones de contorno del problema. Ya no tendríamos una viga en voladizo sino una viga empotrada-apoyada. Las frecuencias naturales y los modos de vibración no son los mismos, como se muestra en la Figura 3, y por tanto la respuesta de la estructura es diferente.

Figura 3. Frecuencias naturales de una viga en voladizo y una viga empotrada apoyada.

Tenemos que buscar una forma de introducir esa condición de contorno en el extremo libre, pero sin afectar a la rigidez de la estructura. Solución: Introducir unos elementos 'dummy' entre medias y que su comportamiento no afecte a la estructura (Figura 4).

Figura 4. Viga empotrada-apoyada con elementos dummy.

La idea de los elementos dummy es hacer de aislador. De esta manera se podrá definir el apoyo en el extremo libre de los elementos dummy y aislar su efecto de la estructura manteniendo intactas las frecuencias naturales, modos de vibración y respuesta de la viga como se ve en la Figura 5. 

Figura 5. Frecuencias naturales de una viga empotrada y una viga empotrada-apoyada con elementos dummy.

El material de los elementos dummy tiene que tener una rigidez y, para evitar frecuencias naturales residuales, una densidad muy bajas.

El movimiento en la base se transferirá a la viga por medio de los elementos dummy pudiendo haber una pérdida o una ganancia. Por ello es necesario escalar la señal del movimiento de la base para cada frecuencia con el fin de que a la punta de la viga le llegue la señal real que excita la estructura. Para ello se ha de calcular la función de transferencia, T, que no es más que la señal que le llega a la viga, Sbeam, dividido la señal de entrada en la fijación, Sdummy.

Si en un primer cálculo hacemos un barrido en frecuencia donde Sdummy = 1, y obtenemos Sbeam del model, entonces:

Y voilà, ya tenemos nuestra función de transferencia. Ahora para calcular cuál debería ser la señal de entrada S'dummy en la fijación de los elementos dummy, para obtener la excitación real (conocida) que le llega a la estructura, S'beam, solo tenemos que sustituir en la primera ecuación:

Si fuera necesario se pueden calcular las respuestas de aceleración, velocidad o desplazamiento en función de cualquiera de ellas.

En el ejemplo de la viga se ha realizado un Harmonic Response y se ha obtenido estás aceleraciones ante el barrido de frecuencia unitario. Es decir, la función de transferencia.

Figura 6. Función de transferencia.

Las aceleraciones que han de llegar a la viga tienen el siguiente perfil.

Figura 7. Aceleraciones reales en el extremo libre de la viga.

La señal que hay que introducir en la fijación de los elementos dummy sería:

Figura 8. Señal de entrada en la fijación de los elementos dummy.

Solo a modo comparativo, la Figura 9 muestra una comparativa entre las aceleraciones reales y las que se obtienen de un Harmonic Response cuando se introduce la señal de la Figura 8.

Figura 9. Comparación señal real (línea azul) y señal de entrada (puntos naranjas) usando elementos dummy.

Con este pequeño truco pues aprovechar en cualquier estructura los beneficios que ofrece el cálculo de respuesta en frecuencia.